ریاضیات لاتاری: احتمال برد واقعاً یعنی چه
ترکیب‌ها را چطور می‌شمارند، چرا هر بلیت مستقل است، و چرا بزرگ شدن جایزه به‌تنهایی انتظار ریاضی را مثبت نمی‌کند.
تحریریه یاشانس۷ دقیقه مطالعه
احتمال برد در لاتاری موضوع رازآلودی نیست. برای بازی‌هایی که از یک مجموعه ثابت عدد انتخاب می‌کنند، تعداد حالت‌ها با ترکیب شمرده میشود. دشواری کار در حساب نیست. در این است که عددِ خیلی کوچک را کنار تصویرِ خیلی بزرگ بگذاریم و هنوز تصمیم عادی بگیریم. این مقاله وعده روش بردن نمی‌دهد. فقط نشان می‌دهد آن عدد از کجا می‌آید و چه سوءبرداشت‌هایی دورش ساخته شده است.
ترکیب، نه جایگشت
اگر باید ۶ عدد متفاوت از ۴۹ عدد انتخاب شود و ترتیب کشیده شدن مهم نباشد، تعداد بلیت‌های ممکن برابر است با ترکیب ۴۹ از ۶. این عدد دقیقاً ۱۳٬۹۸۳٬۸۱۶ است. یعنی یک بلیت، یک حالت از این مجموعه را نشان می‌دهد. اگر قرعه واقعاً یک ترکیب را یکنواخت انتخاب کند، احتمال تطابق کامل همان یک بر روی آن تعداد است.
ترتیب در این مدل مهم نیست، چون معمولاً شماره بلیت مجموعه‌ای از اعداد است نه دنباله. اگر بازی ترتیب را هم بخواهد، تعداد حالت بیشتر میشود و احتمال کمتر. قاعده هر محصول را باید از روی شرح رسمی همان محصول خواند، نه از روی شباهت اسمی با «لاتاری شش‌تایی».
یک مثال از ماتریس‌های معروف
در پاوربال، سال‌هاست بازیکن پنج عدد از شصتونه و یک عدد جدا از بیستوشش انتخاب می‌کند. تعداد حالت‌های پنج‌تایی برابر ترکیب ۶۹ از ۵ یعنی ۱۱٬۲۳۸٬۵۱۳ است. ضرب در ۲۶ میشود ۲۹۲٬۲۰۱٬۳۳۸. این احتمال جایزه اصلی است، نه احتمال هر نوع برد کوچک. رده‌های پایین جایزه حالت‌های بیشتری را پوشش می‌دهند و به همین دلیل محتمل‌ترند، ولی همان‌ها هم معمولاً از قیمت بلیت کوچک‌تر طراحی شده‌اند.
در مگامیلیونز، ماتریس جاری پنج عدد از هفتاد به‌علاوه یک عدد از بیستوچهار است. ترکیب ۷۰ از ۵ برابر ۱۲٬۱۰۳٬۰۱۴ است و ضرب در ۲۴ میشود ۲۹۰٬۴۷۲٬۳۳۶. این رقم جایزه بزرگ همین ماتریس است. ماتریس قبلی میدان جدا را بیست‌وپنج‌تایی می‌گرفت و عدد بزرگ‌تری می‌ساخت. اگر برگزارکننده دوباره ماتریس را عوض کند، احتمال هم عوض میشود. نقل این عددها بدون ذکر قاعده، بی‌فایده است.
| بازی | قاعده | تعداد حالت |
|---|---|---|
| ۶ از ۴۹ | ۶ عدد متفاوت از ۴۹، ترتیب مهم نیست | ۱۳٬۹۸۳٬۸۱۶ |
| پاوربال | ۵ از ۶۹، ضرب در ۲۶ | ۲۹۲٬۲۰۱٬۳۳۸ |
| مگامیلیونز | ۵ از ۷۰، ضرب در ۲۴ | ۲۹۰٬۴۷۲٬۳۳۶ |
استقلال قرعه‌ها
هر قرعه، اگر دستگاه طبق قاعده درست کار کند، به نتیجه قرعه قبل وابسته نیست. شماره‌ای که مدت‌ها نیامده «بدهکار» نیست. شماره‌ای که تازه آمده «سرد» نشده است. این خطا به نام مغالطه قمارباز شناخته میشود و در مقاله باورهای غلط باز میشود. از نظر ریاضی همین یک جمله کافی است: توزیع یکنواخت روی ترکیب‌ها، حافظه ندارد.
خریدن بلیت بیشتر، احتمال برنده شدن همان شخص را زیاد می‌کند، چون حالت‌های بیشتری را پوشش می‌دهد. این افزایش خطی و کوچک است. دو بلیت در بازی ۶ از ۴۹ احتمال را تقریباً دو برابر یک بلیت می‌کند و همچنان در مقیاس یک بر چند میلیون می‌ماند. پوشش درصد قابل‌اعتنایی از فضای ترکیب، به تعداد بلیتی نیاز دارد که از بودجه سرگرمی فراتر می‌رود. «نزدیک شدن» در این مقیاس استعاره تبلیغاتی است.
ارزش انتظاری
ارزش انتظاری یعنی جمعِ هر نتیجه ممکن ضرب در احتمالش، منهای هزینه. اگر مجموع جوایز پرداختی کمتر از پول بلیت‌ها باشد — که در لاتاری تجاری معمولاً چنین است، چون هزینه اجرا و سهم برگزارکننده یا کار عمومی از همان فروش می‌آید — میانگین بازگشت بازیکن منفی است. جایزه خیلی بزرگ این میانگین را برای یک قرعه خاص کمی جابه‌جا می‌کند، ولی فقط وقتی که رقم واقعی قابل‌پرداخت، نه رقم روی بیلبورد، را در احتمال خیلی کوچک ضرب کنیم.
حتی در قرعه‌ای که ارزش انتظاری روی کاغذ به قیمت بلیت نزدیک شود، مسئله تمام نشده است. احتمال تقسیم جایزه میان چند برنده، مالیات، و تفاوت پرداخت یکجا با رقم اقساطی، هر سه عدد را پایین می‌آورند. به‌علاوه، مقدار پولی که آدم معمولی می‌تواند بخرد آن‌قدر کم است که «مثبت شدن انتظار» اگر هم رخ بدهد، برای او یک امید ریاضی ناچیز است نه یک فرصت عملی. این مقاله درصد سهم جوایز یک کشور خاص را نقل نمی‌کند، چون این سهم‌ها با قانون عوض میشوند.
قانون اعداد بزرگ به یک نفر کمک نمی‌کند
اگر یک بازی را میلیون‌ها بار مستقل تکرار کنید، فراوانی نتایج به احتمال نزدیک میشود. این درباره کل فروشِ برگزارکننده است، نه درباره یک خانوار. برگزارکننده به همین دلیل می‌تواند نتیجه مالی نسبتاً پایداری داشته باشد در حالی که هر بازیکن تقریباً همیشه می‌بازد. پایداری صندوق، شاهدی به نفع بازیکن نیست. شاهدی است که کسر پرداخت‌شده از فروش، طراحی شده و قابل‌تکرار است.
اشتباه رایج این است که آدم بگوید «یک بار بالاخره باید بیاید». برای یک ترکیب خاص، در هر قرعه مستقل، احتمال همان مقدار کمِ قبلی است. افق زمانی طولانی، احتمال «دست‌کم یک برد در طول عمر» را کمی بالا می‌برد، ولی با تعداد قرعه‌ای که یک نفر واقعاً می‌خرد، این احتمال هنوز ناچیز می‌ماند. حسابش همان یک منهای توانِ احتمال باخت است، نه حسِ استحقاق.
چه چیزی ریاضیات را عوض می‌کند
ریاضیات انتخاب برنده را عوض نمی‌کند، ولی طراحی را قابل‌بررسی می‌کند. اگر فهرست شرکت‌کنندگان قبل از قرعه قفل شود، اگر هر بلیت وزن یکسان داشته باشد، و اگر تابع تبدیل عدد تصادفی به برنده علنی باشد، آن‌وقت میشود احتمال ادعاشده را با قاعده تطبیق داد. اگر وزن بلیت‌ها پنهان باشد یا بعد از دیدن فروش بتوان بلیت اضافه کرد، فرمول ترکیب دیگر توصیف بازی واقعی نیست. انصاف فرایند موضوع مقاله جداگانه‌ای است. اینجا فقط این پیوند لازم است: احتمال اعلام‌شده فرض می‌گیرد که قاعده همان است که نوشته شده.
عددها همچنین به مقایسه کمک می‌کنند. ریسک روزمره، مثل تصادف در یک مسیر مشخص، از جنس دیگری است و نباید با یک کسر لاتاری مساوی فرض شود. مقایسه فقط وقتی معنا دارد که هر دو را با واحد پول و زیان واقعی بنویسیم. «نامحتمل» بودن برد، به‌تنهایی، نه فضیلت است و نه رسوایی. وقتی پول بلیت از محل ضروری زندگی بیاید، همان نامحتمل بودن هزینه اخلاقی پیدا می‌کند.
یک حساب کوچک با عددهای همین مقاله
در بازی ۶ از ۴۹، یک بلیت یک شانس از ۱۳٬۹۸۳٬۸۱۶ حالت است. صد بلیت، اگر ترکیب تکراری نداشته باشند، صد شانس از همان تعداد است. یعنی حدود یک در ۱۳۹٬۸۳۸. این هنوز احتمال کوچکی است و هزینه صد بلیت دیگر هزینه یک سرگرمی لحظه‌ای نیست. هزار بلیت میشود حدود یک در ۱۳٬۹۸۴، با هزینه‌ای که برای بیشتر خانوارها معنی‌دار است. این مقیاس را نوشتم تا عبارت «هرچه بیشتر بخری نزدیک‌تر می‌شوی» اندازه پیدا کند. نزدیک شدن در این جدول واقعی است و همزمان برای بودجه عادی ناچیز می‌ماند.
حالا همان را با جایزه تبلیغ‌شده قاطی نکنید. اگر جایزه خالص قابل‌پرداخت به یک برنده را ندانیم، ضرب احتمال در جایزه فقط بازی با صفرهای پوستر است. فرض کنید حتی جایزه خالص خیلی بزرگ باشد. سهم یک نفر که صد بلیت خریده همچنان حاصل‌ضرب یک عدد بزرگ در یک کسر خیلی کوچک است، منهای بهای صد بلیت، منهای اثر مالیات و تقسیم که اغلب در تبلیغ نیست. بدون آن کسرها، حساب انگیزشی است نه حساب دفتر.
استقلال را هم روی همین مثال میشود حس کرد. اگر این هفته هیچ‌کدام از صد بلیت نبرد، هفته بعد همان صد ترکیب، اگر تکرار شوند، باز همان احتمال را دارند نه بیشتر. انباشت «نزدیک شدن در طول سال» فقط با جمع احتمال قرعه‌های مستقل و با فرمول یک منهای احتمال باخت به توان تعداد دفعات به دست می‌آید، و برای تعداد دفعاتی که آدم واقعی بازی می‌کند همچنان عدد کوچکی است. احساسِ یک سال انتظار، در فرمول وارد نمی‌شود.
اگر این بند را خواندید و نتیجه‌اش این بود که بلیت بیشتری بخرید، بند را بد خوانده‌اید. نتیجه‌اش این است که افزایش واقعی احتمال، آن‌قدر گران است که به‌عنوان سرگرمی معمولی معنا ندارد.
جمع‌بندی
احتمال جایزه اصلی در بازی‌های بزرگ عددی، با شمارش ترکیب‌ها به دست می‌آید و اغلب در مقیاس یک در صدها میلیون است. بلیت اضافه این کسر را کم‌کم زیاد می‌کند. قرعه قبلی آن را عوض نمی‌کند. بزرگ شدن رقم تبلیغ‌شده هم، تا وقتی در احتمال ضرب نشود و هزینه و مالیات و تقسیم جایزه از آن کم نشود، استدلال مالی نیست.
بازی مسئولانه این حساب را شخصی می‌کند. سقفی بگذارید که باختنش از پیش پذیرفته شده باشد و آن را از پول خوراک و اجاره جدا کنید. اگر برای جبران باخت قبلی بلیت بیشتری می‌خرید، ریاضیات علیه شما کار می‌کند نه همراه شما. هیچ توضیحی درباره ترکیب، شانس شما را در قرعه بعد بالا نمی‌برد.
پرسش‌های متداول
۱۳٬۹۸۳٬۸۱۶. اگر ترتیب مهم نباشد، یک بلیت یک حالت از این مجموعه است.
پنج از شصتونه ضرب در بیستوشش میشود ۲۹۲٬۲۰۱٬۳۳۸. پنج از هفتاد ضرب در بیستوچهار میشود ۲۹۰٬۴۷۲٬۳۳۶. اگر ماتریس عوض شود این عددها هم عوض میشوند.
اگر ترکیب تکراری نداشته باشند، حدود یک در ۱۳۹٬۸۳۸. هزار بلیت حدود یک در ۱۳٬۹۸۴ است.
اگر دستگاه طبق قاعده درست کار کند، نه. توزیع یکنواخت روی ترکیب‌ها حافظه ندارد.
در لاتاری تجاری معمولاً منفی است، چون هزینه اجرا و سهم برگزارکننده یا کار عمومی از فروش می‌آید. این مقاله درصد سهم یک کشور خاص را نقل نمی‌کند.
منابع: پاوربال، مگامیلیونز، اوپن‌استکس (شمارش)، اوپن‌استکس (ارزش انتظاری)، کلاتفلتر